梯度下降法是什么 有什么示例【机器学习面试题】

今天爱分享给大家带来梯度下降法是什么 有什么示例【机器学习面试题】,希望能够帮助到大家。
1 什么是梯度下降法
经常在机器学习中的优化问题中看到一个算法,即梯度下降法,那到底什么是梯度下降法呢?

维基百科给出的定义是梯度下降法(Gradient descent)是一个一阶最优化算法,通常也称为最速下降法。 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值,必须向函数上当前点对应梯度(或者是近似梯度)的反方向的规定步长距离点进行迭代搜索。如果相反地向梯度正方向迭代进行搜索,则会接近函数的局部极大值点;这个过程则被称为梯度上升法。

额,问题又来了,什么是梯度?为了避免各种复杂的说辞,咱们可以这样简单理解,在单变量的实值函数的情况,梯度就是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。

1.1 梯度下降法示例

举个形象的例子吧,比如当我们要做一个房屋价值的评估系统,那都有哪些因素决定或影响房屋的价值呢?比如说面积、房子的大小(几室几厅)、地段、朝向等等,这些影响房屋价值的变量被称为特征(feature)。在这里,为了简单,我们假定房屋只由一个变量影响,那就是房屋的面积。

假设有一个房屋销售的数据如下:
面积(m^2) 销售价钱(万元)
123 250
150 320
87 160
102 220
… …

插句题外话,顺便吐下槽,这套房屋价格数据在五年前可能还能买到帝都5环左右的房子,但现在只能买到二线城市的房屋了。

我们可以做出一个图,x轴是房屋的面积。y轴是房屋的售价,如下:

梯度下降法是什么 有什么示例【机器学习面试题】插图

如果来了一个新的房子/面积,假设在房屋销售价格的记录中没有的,我们怎么办呢?

我们可以用一条曲线去尽量准的拟合这些数据,然后如果有新的输入面积,我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。如果用一条直线去拟合房屋价格数据,可能如下图这个样子:

梯度下降法是什么 有什么示例【机器学习面试题】插图(1)

而图中绿色的点就是我们想要预测的点。

而图中绿色的点就是我们想要预测的点。

为了数学建模,首先给出一些概念和常用的符号。

房屋销售记录表 – 训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输入数据,一般称为x
房屋销售价钱 – 输出数据,一般称为y
拟合的函数(或者称为假设或者模型),一般写做 y = h(x)
训练数据的条目数(#training set), 一条训练数据是由一对输入数据和输出数据组成的
输入数据的维度(特征的个数,#features),n

然后便是一个典型的机器学习的过程,首先给出一个输入数据,我们的算法会通过一系列的过程得到一个估计的函数,这个函数有能力对没有见过的新数据给出一个新的估计,也被称为构建一个模型。
梯度下降法是什么 有什么示例【机器学习面试题】插图(2)

我们用X1,X2..Xn 去描述feature里面的分量,比如x1=房间的面积,x2=房间的朝向等等,我们可以做出一个估计函数:

梯度下降法是什么 有什么示例【机器学习面试题】插图(3)

θ在这儿称为参数,在这儿的意思是调整feature中每个分量的影响力,就是到底是房屋的面积更重要还是房屋的地段更重要。

如果我们令X0 = 1,就可以用向量的方式来表示了:

梯度下降法是什么 有什么示例【机器学习面试题】插图(4)

我们程序也需要一个机制去评估我们θ是否比较好,所以说需要对我们做出的h函数进行评估,一般这个进行评估的函数称为损失函数(loss function),描述h函数不好的程度,这里我们称这个函数为J函数。

梯度下降法是什么 有什么示例【机器学习面试题】插图(5)

换言之,我们把对x(i)的估计值与真实值y(i)差的平方和作为损失函数,前面乘上的系数1/2是为了方便求导(且在求导的时候,这个系数会消掉)。

如何调整θ以使得J(θ)取得最小值有很多方法,其中有最小二乘法(min square),是一种完全是数学描述的方法,另外一种就是梯度下降法。

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